[선형대수학]02.하나의 행렬에 대한 연산: 세 개의 미지수를 가지는 선형 방정식 시스템
이번 포스팅에서는 선형대수학의 기초가 되는 세 개의 미지수를 가지는 선형 방정식 시스템에 대해 소개할 예정입니다.
📉 개념
- 세 개의 미지수를 가지는 선형 시스템은 세 개의 연립 방정식으로 구성됩니다.
- 이 시스템이 해를 가지려면 세 개의 방정식이 독립적이어야 합니다.
- 해는 세 변수 (x, y, z) 또는 (a, b, c)의 값을 의미하며, 유일한 해가 존재하거나 해가 없을 수 있습니다.
해를 구하는 방법
(1) 소거법(Elimination Method)
소거법은 하나의 변수를 제거하면서 점진적으로 방정식을 단순화하는 방법입니다.
예제 1
밑과 같은 방정식을 풀어보겠습니다.
[1] − x − 5y + z = 17
[2]− 5x − 5y + 5z = 5
[3] 2x + 5y − 3z = −10
1단계: y 제거
- [1]과 [3]을 더하여 y를 소거합니다.
(-x - 5y + z) + (2x + 5y - 3z) = 17 + (-10)
-x + 2x - 5y + 5y + z - 3z = 7
x - 2z = 7
2단계: 또 다른 y 제거
- [2]와 [3]을 더하여 또 다른 방정식을 만든다.
(-5x - 5y + 5z) + (2x + 5y - 3z) = 5 + (-10)
-5x + 2x - 5y + 5y + 5z - 3z = -5
-3x + 2z = -5
3단계: z 제거 후 x 값 구하기
새로운 두 개의 방정식
[4] x - 2z = 7
[5] -3x + 2z = -5
두 식([4]와 [5])을 더하면 z가 소거됩니다.
(x - 2z) + (-3x + 2z) = 7 + (-5)
x - 3x - 2z + 2z = 2
-2x = 2
x = -1
4단계: x를 이용해 z 구하기
x = -1을 첫 번째 새로운 방정식에 대입합니다.
-1 - 2z = 7
-2z = 8
z = -4
5단계: x, z를 이용해 y 구하기
[1]식에 x = -1, z = -4 를 대입합니다.
-(-1) - 5y + (-4) = 17
1 - 5y - 4 = 17
-5y - 3 = 17
-5y = 20
y = -4
해: (-1, -4, -4)
(2) 해가 없는 경우
경우에 따라 해가 존재하지 않을 수도 있습니다.
예제 2
다음 시스템을 풀어보겠습니다.
[1] 3a − 3b + 4c = −23
[2] a + 2b − 3c = 25
[3] 4a − b + c = 25
1단계: a 제거
- [2]에 3을 곱하여 [1]과 빼기 연산을 수행합니다.
3(a + 2b - 3c) = 3(25)
[4] 3a + 6b - 9c = 75
이제 [1]에서 [4]를 뺍니다.
(3a - 3b + 4c) - (3a + 6b - 9c) = -23 - 75
3a - 3a - 3b - 6b + 4c + 9c = -98
-9b + 13c = -98
2단계: 또 다른 a 제거
[2]에 4를 곱한 후 [3]과 빼기 연산을 수행합니다.
4(a + 2b - 3c) = 4(25)
4a + 8b - 12c = 100
(4a - b + c) - (4a + 8b - 12c) = 25 - 100
4a - 4a - b - 8b + c + 12c = -75
-9b + 13c = -75
3단계: 모순 발견
(-9b + 13c) - (-9b + 13c) = -98 - (-75)
0 = -23
이는 모순(항상 거짓이 되는 식)이므로, 이 시스템은 해가 없습니다.
요약
- 소거법을 활용하면 차례로 변수를 제거하면서 풀 수 있습니다.
- 일반적인 풀이 과정:
- 두 개의 방정식을 더하거나 빼서 변수를 하나 없앱니다.
- 같은 방법으로 또 다른 변수를 제거한 새로운 방정식을 만듭니다.
- 두 개의 새로운 방정식을 활용하여 남은 변수 값을 찾습니다.
- 찾은 값을 원래 식에 대입하여 모든 변수를 구합니다.
- 해가 존재하지 않는 경우, 연산 중에 모순(예: 0 = -23)이 발생합니다.