[파이썬을 활용한 통계 개념 기초] 06. 포아송 분포(Poisson distribution)

포아송 분포는 주어진 시간이나 공간에서 사건이 몇 번 발생할지 예측할 수 있는 확률 분포입니다. 고객 센터에 걸려오는 전화 수, 웹사이트 방문자 수, 생산 라인에서 발생하는 결함의 수처럼 드문 사건을 다루기에 적합합니다. 이번 글에서는 포아송 분포의 개념과 실제 활용 사례를 간단하게 알아보겠습니다.

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포아송 분포 (Poisson distribution)

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포아송 분포란?

포아송 분포(Poisson distribution)는 주어진 시간 간격이나 공간 내에서 발생하는 사건의 수를 모델링할 때 사용하는 이산 확률 분포입니다.
(시간/공간 단위에서 사건이 발생하는 횟수를 설명하는 데 자주 사용되는 분포)

 

주로 특정한 시간 또는 공간 내에서 사건이 발생하는 평균 빈도(λ)만 알고 있을 때, 해당 시간 또는 공간 내에서 정확히 몇 번 사건이 발생할 확률을 계산할 수 있습니다.

포아송 분포는 사건이 빈번하게 발생하지 않고, 독립적이며 일정한 비율로 발생하는 시스템을 모델링할 때 적합합니다.
예를 들어, 시간당 도착하는 고객 수, 특정 시간 동안 벌어지는 교통사고 수, 하루 동안 발생하는 서버 오류 수 등이 포아송 분포로 모델링될 수 있습니다.

 

포아송 분포의 주요 특징

• 독립성: 시간이나 공간의 어느 구간에서 사건이 발생할 확률은 다른 구간에서의 사건 발생 확률과 독립적입니다. 예를 들어, 오전에 도착하는 고객 수와 오후에 도착하는 고객 수는 서로 독립적으로 계산됩니다.
• 기대값(평균)과 분산이 같다 : 포아송 분포의 중요한 특징 중 하나는 기대값(평균)과 분산이 동일하다는 점입니다. 즉, 사건이 발생하는 평균 횟수 λ가 분산을 결정합니다. 기대값과 분산이 모두 λ로 주어집니다.

• 이산 확률 분포: 사건 발생 횟수가 정수로 표현됩니다.
• 드문 사건: 사건이 빈번하게 발생하지 않는 경우에 적합합니다. 예를 들어, 하루에 100건의 사건이 발생한다면 포아송 분포보다는 정규 분포를 사용하는 것이 더 적합할 수 있습니다. 그러나 사건의 발생 빈도가 적다면 포아송 분포가 적합합니다.

포아송 분포의 확률 질량 함수(PMF)

 

포아송 분포의 확률 질량 함수(PMF)는 사건이 특정 시간이나 공간 내에서 몇 번 발생할 확률을 계산하는 데 사용됩니다.

여기서:

• P(X=k)는 단위 시간(혹은 공간) 내에 정확히 k 번 사건이 발생할 확률입니다.
• λ는 단위 시간(혹은 공간) 내에 발생하는 사건의 평균 횟수입니다.
• k는 사건의 횟수입니다.
• e는 자연로그의 밑(약 2.718)입니다.

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포아송 분포의 예시

만약 어떤 웹사이트에서 하루 평균 3건의 문의가 들어온다면, 이 상황을 포아송 분포로 모델링할 수 있습니다. 하루에 정확히 5건의 문의가 들어올 확률을 알고 싶다면, λ = 3, k = 5로 포아송 확률을 계산할 수 있습니다.

포아송 분포는 다양한 실생활의 현상을 모델링하는 데 유용합니다.

 

예를 들어,

• 통화센터에 걸려오는 전화 수
• 웹사이트에 방문하는 특정 시간대의 방문자 수
• 공장에서 생산 중 발생하는 결함의 수

이 분포는 사건이 발생할 가능성을 예측하고 관리하는 데 유용한 도구입니다.

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포아송 분포와 다른 분포와의 관계

• 이항 분포와의 관계: 이항 분포에서 사건이 일어나는 횟수는 고정된 시도 횟수와 각 시도에서의 성공 확률로 결정됩니다. 이항 분포에서 성공 확률이 매우 작고, 시도 횟수가 매우 클 때 포아송 분포로 근사할 수 있습니다. 즉, 포아송 분포는 이항 분포에서 시도 횟수 n이 매우 크고 성공 확률 p가 작을 때 근사적으로 사용할 수 있습니다.
• 정규 분포와의 관계: 사건의 발생 횟수가 매우 많아지면 포아송 분포는 정규 분포에 가까워집니다. 특히 λ가 매우 클 때, 정규 분포로 근사할 수 있습니다.