[파이썬을 활용한 통계 개념 기초] 05. 이항 분포(Binomial distribution)

이항 분포는 수학적 개념이지만, 일상에서 자주 만나게 되는 확률을 설명할 때 유용한 도구입니다. 예를 들어, "동전을 10번 던졌을 때 몇 번 앞면이 나올까?"와 같은 질문에 답하는 데 사용할 수 있습니다. 그렇다면 이항 분포가 무엇인지, 어떻게 적용되는지 쉽게 설명해 보겠습니다.

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이항 분포 (Binomial distribution)

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이항 분포란?

이항 분포(Binomial distribution)는 성공/실패처럼 두 가지 결과만 나오는 실험을 여러 번 반복할 때, 성공할 확률을 구하는 데 사용되는 확률 분포입니다. 쉽게 말해, 동전 던지기나 제품 구매 여부 같은 실험에서 성공(혹은 실패) 횟수를 예측하고 싶을 때 이항 분포를 사용합니다.

여기서 중요한 요소는 밑과 같습니다:

• 성공 확률: 예를 들어, 동전을 던질 때 앞면이 나올 확률은 50%입니다.
• 실험 횟수: 동전을 던지는 횟수, 예를 들어 10번 던지면 실험 횟수는 10입니다.
• 성공 횟수: 동전을 던져 앞면이 나온 횟수를 말합니다. 예를 들어, 앞면이 3번 나왔다면 성공 횟수는 3입니다.

이항 분포 공식

 

이항 분포의 확률을 계산하는 공식은 밑과 같습니다.

여기서:

• n: 전체 실험 횟수 (예: 동전을 10번 던지면 n=10)
• x: 성공한 횟수 (예: 앞면이 3번 나왔으면 x=3)
• p: 성공 확률 (예: 동전 앞면이 나올 확률 p=0.5)

이항 분포의 조건

 

이항 분포가 적용되려면 밑과 같은 조건을 만족해야 합니다.

1. 독립적인 실험: 각 실험의 결과는 다른 실험에 영향을 주지 않아야 합니다.
2. 두 가지 결과: 결과는 성공(1) 또는 실패(0)처럼 두 가지 중 하나로만 나와야 합니다.
3. 일정한 성공 확률: 모든 실험에서 성공할 확률 p가 동일해야 합니다.

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실제 예시로 이해하기

예시 : 동전을 10번 던졌을 때 앞면이 정확히 3번 나올 확률

• 실험 횟수 n=10
• 성공 횟수 x=3
• 성공 확률 p=0.5 (동전은 앞면과 뒷면의 확률이 동일하므로)

위의 공식을 사용하면, 앞면이 3번 나올 확률을 계산할 수 있습니다. 이때 확률은 약 11.72%로 계산됩니다.

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이항 분포의 평균과 분산

이항 분포의 평균은 n x p로 계산됩니다. 이는 전체 실험 횟수에 성공 확률을 곱한 값입니다. 예를 들어, 성공 확률이 60%이고 실험을 10번 한다면 평균적으로 6번 성공할 것으로 기대할 수 있습니다.

이항 분포의 분산은 n x p x (1 - p)로 계산됩니다. 이는 성공 확률과 실패 확률을 모두 고려해, 값이 얼마나 변동할지를 나타냅니다.

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이항 분포의 활용

이항 분포는 여러 상황에서 활용될 수 있습니다. 예를 들어,

• 동전을 던지는 것과 같이 두 가지 결과(성공/실패)만 있는 실험에서 사용
• 제품 테스트에서 불량품이 나올 확률
• 특정 서비스 가입자가 계속해서 이용할 확률