[파이썬을 활용한 통계 개념 기초] 03. 확률 질량 함수와 확률 밀도 함수 (pmf & pdf)

확률 질량 함수와 확률 밀도 함수

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확률 질량 함수 (pmf)

 

정의:

• 확률 질량 함수는 X의 값이 이산적(Discrete)일 때 사용됩니다. 이는 X가 0이나 1, 2와 같이 특정한 값을 가질 때 해당 값에 대한 확률을 정의하는 함수입니다.
• X가 취할 수 있는 값들이 유한하거나 셀 수 있을 때, 각각의 값에 확률을 할당합니다.

확률 질량 함수의 예 :

• 성별, 학년, 인원 수

특징:

• 확률 질량 함수의 출력은 특정 값에 대한 확률입니다. 예를 들어, 주사위를 굴렸을 때 특정 눈금이 나올 확률은 확률 질량 함수로 표현할 수 있습니다.
• 이산형 확률 분포에서는 각 X 값에 대해 개별적인 확률을 구하고, 이 값들을 모두 더하면 전체 확률이 1이 됩니다.
• 예를 들어, 공정한 6면체 주사위를 굴리는 경우, 주사위 눈금 1이 나올 확률은 P(X = 1) = 1/6​입니다. 또는 공정한 주사위의 눈이 1이나 2가 나올 확률은 각각 1/6이며, 둘 다 나올 확률은 1/3입니다.

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확률 밀도 함수 (pdf)

 

정의:

• 확률 밀도 함수는 X의 값이 연속적(Continuous)일 때 사용됩니다. 이는 X가 연속적인 값을 가질 수 있는 경우, 특정 범위 내에서의 확률을 나타내는 함수입니다.
  (확률 밀도 함수에서는 X가 표본 공간 내에서 임의의 실수 값을 가집니다.)
• 연속형 변수는 특정한 하나의 값을 가질 확률이 0이기 때문에, 특정 구간 내의 확률을 구하는 것이 중요합니다.

 

확률 밀도 함수의 예 :

• 키, 음악, 동영상 재생 시간

특징:

• 확률 밀도 함수의 출력은 특정 점에서의 "밀도"를 나타내며, 그 자체로 확률은 아닙니다. 특정 구간에서의 확률을 구하기 위해서는 이 밀도를 적분해야 합니다.
• 연속형 확률 분포에서는 특정한 점에서의 확률은 의미가 없으며, 대신 특정 범위 내에서의 확률을 구하기 위해 면적을 계산합니다.
• 확률 밀도 함수의 값이 1보다 클 수 있지만, 이는 면적이므로 전체 확률은 1이 됩니다.
• 예를 들어, 강우량이 0과 1 사이에 균등하게 분포할 때, 0에서 0.5 사이의 강우량이 발생할 확률은 밑과 같습니다.

• 또다른 예시로, 정규 분포에서 X가 평균 0, 분산 1을 갖는 경우, 특정 범위 내에서의 확률을 구하려면 그 범위에 대해 pdf를 적분해야 합니다.

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요약

• 확률 질량 함수 (pmf): 이산형 확률 변수가 특정 값을 가질 확률을 나타내며, 이 값들의 합은 1이 됩니다.
• 확률 밀도 함수 (pdf): 연속형 확률 변수가 특정 구간에 있을 확률을 나타내며, 확률을 계산하기 위해서는 함수의 적분이 필요합니다.