[파이썬을 활용한 통계 개념 기초] 14. 카이제곱 분포(Chi-squared distribution)

카이제곱 분포 (Chi-squared Distribution)

카이제곱 분포는 주로 통계적 가설 검정에서 빈번하게 사용되는 분포로, 모집단의 분산에 대한 검정을 가능하게 합니다.

일반적으로 χ2 로 표기되며, 표준 정규 분포의 제곱 합을 통해 만들어집니다. 이 분포는 특히 모집단의 분산 추정이나 독립성 검정에서 중요한 역할을 하며, 통계 이론과 실무에서 모두 필수적인 도구로 여겨집니다.

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정의와 수학적 배경

카이제곱 분포는 여러 독립적인 표준 정규 분포를 따르는 변수들의 제곱합으로 정의됩니다.

예를 들어,X1,X2,…,Xn이 각각 독립적으로 N(0,1^2)인 표준 정규 분포를 따른다면, 이 변수들의 제곱을 더한 값 Y는 자유도 n을 가지는 카이제곱 분포를 따르게 됩니다.

여기서 n은 자유도(Degrees of Freedom)로, 이는 제곱합에 포함된 독립적인 표준 정규 변수의 개수와 동일합니다.

이 수학적 정의는 카이제곱 분포가 특정한 상황에서 만들어지는 확률 분포임을 의미합니다. 특히, 각 표준 정규 변수의 제곱을 합산했기 때문에 이 분포는 음수 값을 가질 수 없으며, 항상 0 이상의 양수 값만 가집니다.

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카이제곱 분포의 특징

1. 자유도 (Degrees of Freedom): 자유도 n은 카이제곱 분포의 모양을 결정짓는 중요한 요소입니다. 자유도가 낮을 때(예: 1 또는 2) 카이제곱 분포는 한쪽으로 치우친 비대칭 분포 형태를 가지지만, 자유도가 높아질수록 대칭에 가까운 분포가 되며, 중심 극한 정리에 의해 정규 분포에 점점 가까워집니다. 자유도는 샘플 크기나 제약 조건에 따라 달라지며, 통계 검정에서 사용되는 자유도는 우리가 비교하는 모집단의 특성에 큰 영향을 줍니다.
2. 정의역 (Domain): 카이제곱 분포는 항상 양의 값만 가지며, 0 이상의 실수 범위에서 정의됩니다. 이는 분포가 제곱합으로 이루어져 있어 음수 값을 포함할 수 없기 때문입니다. 따라서 카이제곱 분포는 양수에 대한 확률 분포가 필요한 상황에 적합합니다.
3. 평균과 분산: 자유도가 n일 때, 카이제곱 분포의 평균은 n, 분산은 2n입니다. 즉, 자유도가 커질수록 평균과 분산이 모두 커집니다. 이는 자유도가 높아질수록 분포의 폭이 넓어지며, 보다 넓은 값의 범위를 가질 가능성이 증가한다는 것을 의미합니다.

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카이제곱 분포의 특징적인 속성

카이제곱 분포는 다음과 같은 속성들로 인해 다양한 통계적 분석에 특히 적합합니다.

1. 비대칭성: 자유도가 낮을 때 카이제곱 분포는 오른쪽으로 치우친 분포 모양을 가지고 있으며, 자유도가 커질수록 점점 좌우 대칭에 가까워집니다. 이는 많은 경우의 데이터가 특정 중심 값 주변에 몰려 있고 일부 값들이 극단적인 수준에 존재하는 현실 세계의 데이터 특성과 유사합니다. 이러한 특성 덕분에 분산이 크거나 이상치가 포함된 경우에 잘 대응할 수 있습니다.
   
   
2. 정규 분포로의 수렴: 중심 극한 정리에 의해 자유도가 높아질수록 카이제곱 분포는 정규 분포에 가까워집니다. 따라서 자유도가 매우 높다면 카이제곱 분포를 정규 분포로 근사하여 계산할 수 있어 실질적인 계산을 더 단순하게 할 수 있습니다.
   
   
3. 누적 분포 함수: 카이제곱 분포의 누적 분포 함수(CDF)는 각 자유도마다 다르기 때문에, 카이제곱 검정을 할 때 일반적으로 카이제곱 분포표(Chi-squared Table)를 참조하여 기각 여부를 판단합니다. 이러한 분포표는 특정 자유도와 유의수준에서의 임계값을 제공해 주므로 통계적 의사결정을 더 쉽게 할 수 있습니다.

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카이제곱 검정의 유의수준과 검정력

카이제곱 분포를 사용한 통계적 가설 검정에서는 유의수준(α)과 검정력(Power) 개념이 중요한 역할을 합니다.

1. 유의수준 (α): 유의수준은 가설 검정에서 귀무가설을 기각할 기준점으로, 보통 0.05 또는 0.01을 사용하는 경우가 많습니다. 유의수준이 작을수록 기각이 어려워지며, 이는 결과에 대한 신뢰성을 높이는 반면, 실제로 의미 있는 차이가 있을 때 놓칠 가능성도 높아집니다. 카이제곱 분포는 유의수준에 따라 귀무가설을 기각할 수 있는지 판단하는 데 사용됩니다.
2. 검정력: 검정력은 실제로 대립가설이 참일 때 이를 올바르게 탐지할 확률을 의미합니다. 이는 데이터의 표본 크기와 자유도에 따라 결정되며, 카이제곱 분포를 이용한 검정에서 표본 크기가 커질수록 검정력이 증가하여 더 정확한 결론을 도출할 수 있게 됩니다.

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주요 용도와 응용

카이제곱 분포는 다양한 통계적 가설 검정에서 중요한 역할을 합니다. 다음은 그 대표적인 예시입니다:

• 적합도 검정 (Goodness-of-Fit Test): 적합도 검정은 관찰된 범주형 데이터가 특정 이론적 분포와 얼마나 잘 맞는지를 평가하는 방법입니다. 예를 들어, 한 연구자가 주사위가 공정한지 확인하고 싶다면, 각 면이 나오는 횟수가 기대값(모든 면이 균등한 빈도)을 따르는지를 검정할 수 있습니다. 여기서 카이제곱 분포를 통해 실제 관측된 빈도와 기대되는 빈도의 차이를 계산하고, 그 차이가 통계적으로 유의미한지 판단합니다.
• 독립성 검정 (Test of Independence): 독립성 검정은 두 범주형 변수 간에 관계가 있는지를 확인하는 방법입니다. 예를 들어, 특정 약물의 효과가 성별에 따라 다른지 검정할 때, 약물 효과와 성별이라는 두 변수가 독립적인지를 확인하는 데 사용됩니다. 이를 위해 교차표(Contingency Table)를 활용하여 각 범주의 빈도를 카이제곱 분포와 비교하고, 두 변수가 서로 독립적인지 여부를 검정할 수 있습니다.
• 동질성 검정 (Test of Homogeneity): 동질성 검정은 서로 다른 두 모집단이 특정 변수에 대해 동일한 분포를 가지는지를 확인하는 방법입니다. 예를 들어, 지역별로 특정 상품의 선호도가 동일한지 확인하고자 할 때 사용됩니다. 각 지역의 데이터가 동일한 분포를 가질 경우 동질성이 있다고 판단하며, 그렇지 않으면 두 모집단이 통계적으로 다른 특성을 가진다고 결론지을 수 있습니다.

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카이제곱 분포의 중요성과 실제 적용

카이제곱 분포는 특히 모집단 분산에 대한 검정을 할 때 적합합니다. 분산이란 자료의 흩어짐 정도를 나타내는 지표로서, 특정 변수에 대한 분산이 일정하다는 가정을 할 때 카이제곱 분포를 통해 이를 검정할 수 있습니다. 예를 들어, 어떤 생산 공정에서 발생하는 제품의 품질 편차가 허용 수준 내에 있는지 확인할 때, 카이제곱 분포를 사용하여 분산이 통계적으로 유의미하게 다르지 않은지 검정할 수 있습니다.

 

또한, F 분포와의 관계를 통해 보다 복잡한 분산 비교가 가능합니다. F 분포는 두 개의 카이제곱 분포를 서로 나눈 값으로 정의되며, 이 때문에 두 모집단 간의 분산을 비교할 때 유용하게 사용됩니다. 주로 분산 분석(ANOVA)과 회귀 분석에서 사용되는 F 검정은 두 개 이상의 그룹 간에 차이가 있는지를 확인하는 강력한 도구입니다.

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카이제곱 분포의 한계와 주의사항

1. 독립성 가정: 카이제곱 검정을 사용할 때, 각 데이터는 독립적으로 수집된 것이어야 합니다. 예를 들어, 적합도 검정에서는 샘플링이 무작위로 이루어져야 하며, 동일한 데이터가 중복되어서는 안 됩니다. 만약 독립성이 확보되지 않는다면, 카이제곱 검정의 결과가 왜곡될 수 있습니다.
2. 예상 빈도 조건: 카이제곱 검정에서는 각 범주별 예상 빈도가 충분히 커야 합니다. 일반적으로 모든 범주의 예상 빈도가 5 이상일 때 검정 결과의 신뢰성이 높아집니다. 예상 빈도가 너무 작으면, 카이제곱 분포를 사용하는 검정 결과가 부정확할 수 있기 때문에 이 경우 피셔의 정확 검정(Fisher’s Exact Test)과 같은 다른 검정을 고려할 수 있습니다.
3. 대응하지 않는 경우: 카이제곱 검정은 연속형 변수보다는 범주형 변수를 다룰 때 적합합니다. 따라서 연속형 변수의 분포를 분석할 때는 정규성 검정 또는 다른 적합도 검정을 사용하는 것이 더 적절할 수 있습니다.

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실제 사례에서의 카이제곱 분포 사용 예시

카이제곱 분포와 관련된 통계적 검정은 다양한 분야에서 실질적인 문제를 해결하는 데 활용됩니다.

• 의료 연구: 예를 들어, 특정 질병이 남성과 여성 간에 발생률 차이가 있는지를 분석할 때, 연구자는 성별과 질병 발병 여부의 독립성을 검정할 수 있습니다. 이를 통해 질병과 성별 사이의 관계가 단순한 우연인지, 아니면 통계적으로 유의미한 차이가 있는지를 파악할 수 있습니다.
• 마케팅 조사: 마케터가 여러 연령대의 소비자들이 특정 제품에 대해 다른 반응을 보이는지를 조사할 때, 연령대와 제품 선호도의 독립성을 카이제곱 검정을 통해 분석할 수 있습니다. 이를 통해 타겟 마케팅 전략을 세우는 데 유용한 통찰을 얻을 수 있습니다.
• 품질 관리: 생산 공정에서 특정 결함이 발생하는 빈도가 각 기계마다 차이가 있는지를 확인할 때, 카이제곱 검정을 사용하여 이러한 결함 발생이 특정 기계에 집중되는지 여부를 판단할 수 있습니다. 이는 생산 공정의 품질 개선 및 최적화에 중요한 정보를 제공합니다.

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카이제곱 분포는 다양한 통계 분석에서 필수적인 분포로, 모집단의 분산 검정, 범주형 데이터의 적합도 및 독립성 검정에 널리 사용됩니다. 이는 연구자나 분석가가 데이터가 기대하는 모델과 잘 맞는지, 또는 특정 변수들이 서로 독립적인지를 확인하는 데 필수적인 도구입니다. 자유도를 조절함에 따라 다양한 데이터에 적합할 수 있으며, 통계학에서 이론적 모델링과 실무적 적용 모두에서 강력한 검정 수단으로 활용됩니다.

카이제곱 분포는 통계학과 데이터 과학에서 꼭 알아야 할 개념 중 하나이며, 이를 통해 우리는 모집단에 대한 중요한 결정을 내릴 수 있습니다.