[파이썬을 활용한 통계 개념 기초] 10. 기댓값(Expectation)

기댓값(Expectation)

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기댓값(Expectation)이란?

기댓값은 확률 변수의 평균적인 값을 나타내는 개념으로, 확률 분포의 중심을 보여줍니다. 이는 확률론과 통계학에서 매우 중요한 개념으로, 데이터나 확률 변수의 일반적인 경향을 파악하는 데 유용합니다.

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기댓값의 정의

• 이산 확률 변수의 기댓값: 확률 변수가 이산적일 때는 가능한 값들에 확률을 곱한 값들의 합으로 기댓값을 계산합니다.

여기서 x_i는 확률 변수 X가 가질 수 있는 값, P(x_i)는 해당 값이 나타날 확률입니다.

 

• 연속 확률 변수의 기댓값: 확률 변수가 연속적일 때는 확률 밀도 함수(pdf)를 사용하여 기댓값을 구합니다.

여기서 f(x)는 확률 밀도 함수입니다.

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기댓값의 성질

• 선형성: 기댓값은 선형 연산에 대해 다음과 같은 성질을 가집니다. 이는 기댓값 계산을 단순화하는 데 큰 도움이 됩니다.

여기서 a, b는 상수, X와 Y는 확률 변수입니다.

• 기댓값의 불변성: 상수 c에 대해, 기댓값은 상수로 고정됩니다. 즉, E(c)=c 이는 상수가 확률 변수가 아닐 때 항상 성립합니다.
• 함수 변환의 기댓값: 만약 확률 변수 X에 어떤 함수 g(X)를 적용한다면, 그 함수의 기댓값은 다음과 같이 계산됩니다.

이 성질은 기댓값을 다루는 많은 문제에서 유용하게 쓰입니다.

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기댓값과 분산의 관계

분산(Variance)은 기댓값과 밀접한 관련이 있습니다. 분산은 확률 변수가 기댓값을 기준으로 얼마나 퍼져 있는지를 나타내는 척도입니다.

분산은 기댓값을 기준으로 값들이 얼마나 떨어져 있는지를 측정하며, 분산의 제곱근을 표준편차라고 부릅니다.

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응용 및 추가 개념

• 기댓값과 통계: 샘플 데이터에서의 기댓값은 모집단의 평균을 추정하는 중요한 방법입니다. 이를 통해 데이터의 중심 경향을 파악할 수 있습니다.
• 기댓값의 응용: 기댓값은 여러 분야에서 활용되는데, 예를 들어 게임 이론, 경제학에서는 기대 수익을 계산하는 데 쓰이고, 보험에서는 예상 손실을 추정하는 데 쓰입니다.
• 조건부 기댓값(Conditional Expectation): 특정 조건 하에서 기댓값을 계산하는 방법도 있으며, 이는 확률 변수의 조건부 분포를 통해 계산됩니다.

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요약

• 기댓값은 확률 변수의 평균을 나타내며, 이산 또는 연속 확률 변수에 대해 각각 다른 방식으로 계산됩니다.
• 기댓값은 선형성을 포함한 여러 중요한 성질을 가지고 있으며, 다양한 분야에서 실질적으로 활용됩니다.
• 기댓값과 분산은 함께 사용되어 확률 변수의 중심과 퍼짐 정도를 설명합니다.

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