[파이썬을 활용한 통계 개념 기초] 09. 음이항 분포(Negative binomial distribution)

음이항 분포(Negative binomial distribution)

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음이항 분포(Negative Binomial Distribution)의 개념

음이항 분포는 이항 분포의 확장된 개념으로, 특정한 사건(성공)이 r번 일어날 때까지 실패가 몇 번 일어나는지에 대한 확률 분포입니다. 이 분포는 베르누이 시행의 반복으로 이루어집니다.

 

주요 개념

• 이항 분포(Binomial Distribution): 성공/실패 두 가지 결과만 있는 베르누이 시행을 n번 반복했을 때, r번 성공할 확률을 나타냅니다. 시행 횟수 n은 고정되어 있습니다.
• 음이항 분포: r번 성공할 때까지 시행되는 베르누이 시행의 실패 횟수에 대한 분포를 나타냅니다. 이때, 성공 횟수 r은 고정되어 있지만, 시행 횟수 n은 고정되지 않습니다.

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수식

음이항 분포의 확률 질량 함수(PMF)는 다음과 같이 정의됩니다.

• r: 성공해야 하는 횟수 (고정)
• p: 성공할 확률
• x: 실패 횟수

이 수식은 조합(Combination)을 통해 표현되며, 음이항 분포의 시행은 마지막에 항상 성공으로 끝난다는 조건이 있습니다.

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음이항 분포의 사용 예

음이항 분포는 성공이 반복적으로 나타나는 상황에서 유용하게 사용됩니다. 예를 들어, 동전을 던져서 r번 앞면이 나올 때까지 던지는 횟수에서 실패(뒷면)가 발생하는 횟수를 모델링할 때 사용할 수 있습니다.

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음이항 분포와 이항 분포의 차이점

• 이항 분포는 성공 횟수에 대해 정의되며, 시행 횟수 n이 고정되어 있습니다.
• 음이항 분포는 성공할 때까지의 시행 횟수가 변동되며, 실패 횟수에 대해 정의됩니다.

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관련 분포

• 기하 분포(Geometric Distribution): 음이항 분포의 특수한 경우로, r = 1일 때를 말합니다. 즉, 첫 번째 성공이 나올 때까지의 실패 횟수를 모델링합니다.
• 초기하 분포(Hypergeometric Distribution): 고정된 크기의 모집단에서 성공/실패를 구분하여 비복원 추출을 하는 경우에 사용하는 분포입니다.

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음이항 분포의 직관적 이해

음이항 분포는 현실에서 자주 접할 수 있습니다.

예를 들어:

• 마케팅 캠페인에서 10번 성공적인 고객 반응을 얻을 때까지 몇 번의 실패가 발생하는지를 모델링할 수 있습니다.
• 머신러닝 모델의 하이퍼파라미터 튜닝 과정에서, 원하는 성능을 달성할 때까지 몇 번의 실패를 경험하는지를 모델링할 수 있습니다.

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음이항 분포를 사용한 데이터 분석

음이항 분포는 데이터 분석에서 과산포(Overdispersion) 문제를 해결하는 데 유용합니다. 과산포는 실제 데이터에서 분산이 평균보다 큰 경우에 발생하는데, 이항 분포가 이러한 상황을 적절히 설명하지 못할 때 음이항 분포를 사용하여 더 적합한 모델링을 할 수 있습니다.

 

과산포 예시

• 고객 이탈(Churn) 분석에서, 특정 조건에 따라 이탈 확률이 높아지거나 낮아지는 경우, 음이항 분포를 사용해 이러한 변동성을 모델링할 수 있습니다.

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음이항 분포의 활용

음이항 분포는 여러 가지 실제 문제에 사용되며, 특히 반복적인 실패/성공을 다루는 상황에서 중요하게 사용됩니다.

이를 통해 현실 세계의 확률 변수를 더 잘 설명할 수 있습니다.

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