[선형대수학]01.하나의 행렬에 대한 연산: 두개의 미지수를 가지는 선형 방정식 시스템

이번 포스팅을 시작으로 프로그래밍의 기초가 되는 선형대수학을 기초부터 다질 수 있게 개념을 정리하게 되었으며,
이번 포스팅은 선형대수학의 기초가 되는 선형 방정식 시스템과 연립 일차 방정식을 푸는 방법을 소개할 예정입니다.

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📉 선형 방정식 시스템이란?

• 선형 시스템(Linear system)은 미지수를 포함하는 일차 방정식의 집합입니다.
• 일차 방정식의 각 항(term)은 1차 이하의 차수를 가집니다.
• 예를 들어, 다음과 같은 두 개의 방정식이 있다고 할 경우에,
  y = x + 3
  2x - 3y = 10
  이 시스템의 해(해결 방법)를 찾는 것이 목표입니다.

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연립 일차 방정식을 푸는 방법

연립 일차 방정식을 푸는 방법에는 대입법(Substitution Method), 소거법(Elimination Method), 그래프법(Graphing Method)이 있습니다.

(1) 대입법 (Substitution Method)

1. 하나의 방정식에서 한 개의 변수를 단독으로 만듭니다.
2. 얻은 식을 다른 방정식에 대입(치환)합니다.
3. 남은 미지수를 계산합니다.
4. 첫 번째 방정식에 대입하여 나머지 변수 값을 구합니다.

예제:

y = x + 3

2x - 3y = 10

1. 첫 번째 방정식에서 이미 y가 단독으로 되어 있으므로, 이 값을 두 번째 방정식에 대입
   2x - 3(x + 3) = 10
   
   
2. 전개 및 정리
   2x - 3x - 9 = 10
   -x - 9 = 10
   -x = 19
   x = -19
   
   
3. x 값을 첫 번째 방정식에 대입
   y = -19 + 3
   y = -16

해: (-19, -16)

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(2) 소거법 (Elimination Method)

1. 방정식의 형태를 Ax + By = C 형태로 정렬합니다.
2. 한 변수의 계수를 같게 만든 후 두 방정식을 더하거나 빼서 한 변수를 제거합니다.
3. 남은 방정식을 풀어 한 변수 값을 구합니다.
4. 첫 번째 방정식에 대입하여 나머지 변수 값을 구합니다.

예제:

y = 3x - 4
- x + 2y = 12

1. 첫 번째 방정식을 정리
   -3x + y = -4
   
   
2. 두 번째 방정식과 더해질 수 있도록 조정:
   • 첫 번째 방정식에 2를 곱해 y의 계수를 맞춤.
     −6x+2y=−8-6x + 2y = -8
3. 두 식을 빼기 연산 수행
   (-6x + 2y) - (-x + 2y) = -8 - 12
   -6x + 2y + x - 2y = -20
   -5x = -20
   x = 4
   
   
4. x 값을 첫 번째 방정식에 대입
   y = 3(4) - 4
   y = 12 - 4
   y = 8

해: (4, 8)

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(3) 그래프법 (Graphing Method)

1. 두 방정식을 y = mx + b (기울기-절편 형태)로 변환합니다.
2. 그래프를 그리고 두 선의 교점을 찾습니다.

예제:

x + 3y = 12
2x - y = 5

1. 첫 번째 방정식 정리
   3y = -x + 12
   y =−1/3x + 4
   
   
2. 두 번째 방정식 정리
   -y = -2x + 5
   y = 2x - 5
   
   
3. 두 직선을 그래프에 그려서 교점을 찾음.
   • 대략적으로 (3.75,2.75)로 예상되지만,
     실제 해는 (27/7,19/7)≈(3.86,2.71)

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📌 요약

• 대입법: 한 방정식에서 변수 하나를 단독으로 만든 후 대입.
• 소거법: 두 방정식을 더하거나 빼서 한 변수를 제거.
• 그래프법: 방정식을 그래프로 나타내어 교점을 찾음.

초기에는 대입법과 소거법이 가장 정확하고 효율적이며, 그래프법은 시각적 직관을 얻는 용도로 많이 활용됩니다.

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