[선형대수학]05.하나의 행렬에 대한 연산: 간단한 행 연산 (Simple Row Operations)

이번 포스팅에서는 선형대수학의 기초가 되는 간단한 행 연산에 대해 소개할 예정입니다.

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행 연산이란?

• 행렬을 사용하여 선형 방정식 시스템을 풀기 위해 행 연산(Row Operations)을 활용합니다.
• 행 연산을 사용하면 행렬을 점진적으로 더 간단한 형태(예: 계단식 형태, 가우스 소거법 등)로 변환할 수 있습니다.

기본적인 행 연산 세 가지

1. 행 교환 (Row Swapping)
2. 행의 배수 곱하기 (Scaling a Row)
3. 행 더하기 또는 빼기 (Adding/Subtracting Rows)

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행 교환 (Row Swapping)

• 두 행을 서로 바꿀 수 있다. 이를 Ri ↔ Rj로 표현합니다.
• 연립방정식에서 방정식의 순서를 바꾸는 것과 동일한 효과를 가집니다.

예제

다음 행렬에서 R2 ↔ R3 연산을 수행하겠습니다.

\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & -1 & 11 \\ 1 & 7 & 4 & 6 \\ 0 & -1 & -8 & -3 \end{array}

행 교환 결과

\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & -1 & 11 \\ 0 & -1 & -8 & -3 \\ 1 & 7 & 4 & 6 \end{array}

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행의 배수 곱하기 (Scaling a Row)

• 행의 모든 요소를 동일한 수(스칼라, Scalar)로 곱하거나 나눌 수 있다.
• 이를 kRi→Ri로 표현합니다(k는 0이 아닌 실수).
• 예를 들어, R1을 2배하면, R1→2R1

예제

다음 행렬에서 2R1 연산을 수행하겠습니다.

\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 7 \\ 1 & -6 & 0 \end{array}

행의 배수 곱하기 결과

\begin{array}{ccc|c} 6 & 4 & 14 \\ 1 & -6 & 0 \end{array}

• 행을 3배하면 모든 원소가 3배 증가합니다.
• 그러나 이 연산은 언제든지 다시 원래 상태로 돌릴 수 있습니다.

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행 더하기 또는 빼기 (Adding/Subtracting Rows)

• 한 행을 다른 행에 더하거나 뺄 수 있습니다.
• 이를 Ri+kRj→Ri 로 표현합니다.
• 예를 들어, R1+4R3→R1 연산을 수행하면,
  • R3을 4배한 후, 그 값을 R1에 더하면 됩니다.

예제

다음 행렬에서 R1+4R3→R1연산을 수행하겠습니다.

\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & -1 & 11 \\ 1 & 7 & 4 & 6 \\ 0 & -1 & -8 & -3 \end{array}

1. R3을 4배하기:
   4R3=(0,−4,−32,−12)
2. R1+4R3 계산:
   (2,3,−1,11)+(0,−4,−32,−12)=(2,−1,−33,−1)

행 더하기 결과

\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & -33 & -1 \\ 1 & 7 & 4 & 6 \\ 0 & -1 & -8 & -3 \end{array}

• 목적: 특정 변수를 제거하여 행렬을 간단한 형태로 변환할 수 있음.

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치환행렬 (Elementary Matrices)

• 행 연산을 수행하는 특별한 행렬을 "치환행렬" (Elementary Matrix)라고 합니다.
• 각 치환행렬은 한 가지 행 연산만 수행하는 단순한 행렬입니다.
• 치환행렬을 사용하면 여러 행 연산을 하나의 행렬 연산으로 표현할 수 있습니다.

치환행렬 예제

행렬:

E = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

이 행렬을 기존 행렬 A와 곱하면 첫 번째와 두 번째 행이 바뀌는 효과가 발생합니다.

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요약

• 행 연산은 선형 시스템을 푸는 핵심 도구이며, 다음 세 가지 연산을 수행할 수 있습니다.
  1. 행 교환 (Row Swapping): 행의 순서를 변경.
  2. 행의 배수 곱하기 (Scaling a Row): 행 전체에 스칼라 곱.
  3. 행 더하기 또는 빼기 (Adding/Subtracting Rows): 한 행을 다른 행과 결합.

치환행렬(Elementary Matrices)을 사용하면 여러 행 연산을 행렬 연산으로 변환할 수 있습니다.

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