[선형대수학]04.하나의 행렬에 대한 연산: 행렬로 시스템 표현하기 (Representing Systems with Matrics)

이번 포스팅에서는 선형대수학의 기초가 되는 행렬로 시스템 표현하기에 대해 소개할 예정입니다.

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선형 방정식 시스템을 행렬로 표현하는 이유

• 선형 방정식 시스템을 풀 때 대입법, 소거법, 그래프법을 사용할 수 있지만, 행렬을 활용하면 더 효율적입니다.
• 특히 변수의 개수가 많을수록 행렬을 활용하는 것이 계산을 단순화할 수 있습니다.
• 행렬을 이용하면 연립방정식을 더 구조적으로 정리하고, 행렬 연산을 통해 해를 구하는 과정이 쉬워집니다.

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계수행렬 (Coefficient Matrix)

• 계수행렬은 선형 방정식에서 변수의 계수만을 모아 만든 행렬입니다.
• 예를 들어, 다음과 같은 연립방정식이 있다고 하겠습니다.
  \begin{aligned} 3x + 2y &= 7 \\ x - 6y &= 0 \end{aligned}
• 위 시스템의 계수행렬 A 는 다음과 같습니다.
  \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -6 \end{bmatrix}
• 행렬의 각 열은 변수의 계수, 각 행은 하나의 방정식을 나타냅니다.
  • 첫 번째 열: x의 계수 [3,1]
  • 두 번째 열: y의 계수 [2,−6]

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첨가행렬 (Augmented Matrix)

• 계수행렬에 우변(상수항)을 추가하면 첨가행렬(Augmented Matrix)이 됩니다.
• 위 예제의 첨가행렬은 다음과 같습니다.
  \begin{array}{cc|c} 3 & 2 & 7 \\ 1 & -6 & 0 \end{array}
• 첨가행렬에서 "|" 기호는 우변을 나타내는 부분을 강조하기 위한 것입니다.

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예제: 여러 개의 변수 포함

다음 연립방정식을 첨가행렬로 표현해보겠습니다.

 

\begin{aligned} -2x + y - t &= 7 \\ x - y + z + 4t &= 0 \end{aligned}

1단계: 계수행렬 정리

• 변수는 x, y, z, t가 포함되어 있으므로, 네 개의 열이 필요합니다.
• 첫 번째 식에는 z항이 없으므로, 해당 위치의 값은 0으로 채웁니다.

2단계: 첨가행렬 표현

M = \begin{array}{cccc|c} -2 & 1 & 0 & -1 & 7 \\ 1 & -1 & 1 & 4 & 0 \end{array}

• 각 열은 각각 x, y, z, t의 계수를 나타낸다.
• 우변의 상수항은 첨가된 마지막 열에 위치한다.

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변수가 정렬되지 않은 경우

변수들이 정렬되지 않은 경우, 올바른 순서로 정렬한 후 행렬을 만들어야 합니다.

예제: 정렬되지 않은 연립방정식

\begin{aligned} 2x + 3y - z = 11 \\ 7y = 6 - x - 4z \\ -8z + 3 = y \end{aligned}

1단계: 방정식을 정리

변수의 순서를 맞추면

\begin{aligned} 2x + 3y - z = 11 \\ x + 7y + 4z = 6 \\ 0x - y - 8z = -3 \end{aligned}

• x, y, z 순서로 정리하고, 없는 변수 자리에는 0을 추가합니다.

2단계: 첨가행렬 표현

B =  \begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & -1 & 11 \\ 1 & 7 & 4 & 6 \\ 0 & -1 & -8 & -3 \end{array}

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요약

• 계수행렬(Coefficient Matrix): 변수의 계수만 포함.
• 첨가행렬(Augmented Matrix): 계수행렬 + 우변의 상수항을 포함.
• 변수의 순서가 정렬되지 않았다면 먼저 정렬한 후 행렬을 구성해야 함.
• 행렬을 활용하면 선형 방정식 시스템을 더 효율적으로 다룰 수 있음.

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