[선형대수학]07.하나의 행렬에 대한 연산: 가우스-조던 소거법 (Gauss-Jordan Elimination)

이번 포스팅에서는 선형대수학의 기초가 되는 가우스-조던 소거법에 대해 소개할 예정입니다.

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가우스-조던 소거법이란?

• 가우스-조던 소거법(Gauss-Jordan Elimination)은 연립방정식을 풀기 위해 행렬을 기약 행 사다리꼴(RREF)로 변환하는 알고리즘입니다.
• 목표: 행 연산을 사용하여 행렬을 기약 행 사다리꼴(reduced row-echelon form, RREF)로 변환합니다.
• 결과: 해를 직접 읽을 수 있는 형태로 변환됩니다.

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가우스-조던 소거법 과정

1. 선택적 단계: 각 행에서 공통 인수를 제거합니다(필요할 경우).
2. 첫 번째 열을 처리:
   • 첫 번째 행의 첫 번째 항목이 0이면, 다른 행과 교환하여 0이 아닌 값을 맨 위로 이동합니다.
   • 첫 번째 행을 적절한 스칼라(배수)로 나누어 첫 번째 피벗을 1로 만듭니다.
   • 첫 번째 열의 아래 항목을 모두 0으로 변환합니다.
3. 두 번째 열을 처리:
   • 두 번째 행을 적절한 스칼라로 나누어 두 번째 피벗을 1로 만듭니다.
   • 두 번째 열의 위아래 항목을 모두 0으로 변환합니다.
4. 반복하여 모든 열을 변환:
   • 마지막 행까지 반복하여 모든 피벗이 1이 되고, 피벗이 있는 열의 다른 값이 모두 0이 되도록 조정합니다.
5. 결과: 기약 행 사다리꼴(RREF) 행렬이 완성되며, 해를 직접 읽을 수 있습니다.

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예제: 가우스-조던 소거법으로 연립방정식 풀기

다음 연립방정식을 가우스-조던 소거법을 사용하여 풀어보겠습니다.

\begin{aligned} - x - 5y + z &= 17 \\ -5x - 5y + 5z &= 5 \\ 2x + 5y - 3z &= -10 \end{aligned}

1단계: 연립방정식을 첨가행렬로 변환

\begin{array}{ccc|c} -1 & -5 & 1 & 17 \\ -5 & -5 & 5 & 5 \\ 2 & 5 & -3 & -10 \end{array}

2단계: 첫 번째 열 변환 (첫 번째 피벗 만들기)

• 첫 번째 행을 -1로 나누어 첫 번째 피벗을 1로 만듭니다.

\begin{array}{ccc|c} 1 & 5 & -1 & -17 \\ -5 & -5 & 5 & 5 \\ 2 & 5 & -3 & -10 \end{array}

• 다른 행의 첫 번째 열을 0으로 만들기:
  • R2 + 5R1 → R2
  • R3 − 2R1 → R3

 \begin{array}{ccc|c} 1 & 5 & -1 & -17 \\ 0 & 4 & 0 & -16 \\ 0 & -5 & -1 & 24 \end{array}

3단계: 두 번째 열 변환 (두 번째 피벗 만들기)

• 두 번째 행을 4로 나누어 피벗을 1로 만듭니다.

\begin{array}{ccc|c} 1 & 5 & -1 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & -5 & -1 & 24 \end{array}

• 다른 행의 두 번째 열을 0으로 만들기:
  • R1 − 5R2 → R1
  • R3 + 5R2 → R3

 \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & -1 & 4 \end{array} 

4단계: 세 번째 열 변환 (세 번째 피벗 만들기)

• 세 번째 행을 -1로 나누어 피벗을 1로 만듭니다.

 \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -4 \end{array} 

• 다른 행의 세 번째 열을 0으로 만들기:
  • R1 + R3 → R1

 \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -4 \end{array} 

5단계: 해 구하기

• 최종 행렬은 기약 행 사다리꼴(RREF)이므로 해를 바로 읽을 수 있습니다.

x=−1, y=−4, z=−4

즉, 해는 (-1, -4, -4)입니다.

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가우스-조던 소거법의 의미

• 가우스-조던 소거법을 사용하면 연립방정식을 푸는 과정이 체계적으로 정리됩니다.
• 행 연산을 사용하여 단계별로 연립방정식을 정리하면, 해를 직접 읽을 수 있는 기약 행 사다리꼴(RREF)을 얻을 수 있습니다.
• 무한개의 해를 가지는 경우 또는 해가 존재하지 않는 경우도 행렬의 변형 과정에서 쉽게 확인 가능합니다.

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요약

• 가우스-조던 소거법은 기약 행 사다리꼴(RREF)로 변환하여 해를 쉽게 찾는 방법입니다.
• 기본 과정:
  1. 첫 번째 피벗을 1로 만들고, 해당 열의 나머지를 0으로 만듦.
  2. 두 번째 피벗을 1로 만들고, 해당 열의 나머지를 0으로 만듦.
  3. 마지막 피벗을 1로 만들고, 해당 열의 나머지를 0으로 만듦.
  4. 최종 행렬이 기약 행 사다리꼴(RREF)이 되면, 해를 바로 읽을 수 있음.
• 연립방정식을 푸는 가장 효율적인 방법 중 하나이며, 특히 컴퓨터 연산에서 유용하게 사용됨.

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