[선형대수학]08.하나의 행렬에 대한 연산: 선형 시스템에 대한 해답의 수 (Number of Solutions to a Linear System)

이번 포스팅에서는 선형대수학의 기초가 되는 선형 시스템에 대한 해답의 수에 대해 소개할 예정입니다.

---

 

선형 시스템의 해의 개수

선형 방정식 시스템은 다음 세 가지 경우 중 하나에 해당하는 해를 가질 수 있습니다.

1. 유일한 해(Unique Solution): 하나의 정확한 해가 존재합니다.
2. 해가 없음(No Solution): 모순이 발생하여 어떤 값도 해가 될 수 없습니다.
3. 무한히 많은 해(Infinite Solutions): 자유 변수를 포함하여 해가 무한히 많습니다.

이러한 해의 개수는 행렬을 기약 행 사다리꼴(reduced row-echelon form, RREF)로 변환하여 확인할 수 있습니다.

---

유일한 해 (Unique Solution)

• 기약 행 사다리꼴에서 모든 변수에 대한 피벗이 존재하면 유일한 해가 존재합니다.
• 예를 들어, 다음 행렬을 보겠습니다.

\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 & b \\ 0 & 0 & 1 & c \end{array}

• 각 행에서 첫 번째 1(피벗)이 있으며, 모든 열이 피벗을 포함합니다.
• 결과적으로 연립방정식의 해는 다음과 같이 직접 읽을 수 있습니다.x = a, y = b, z = c
• 즉, 유일한 해는 (x,y,z)=(a,b,c)

---

해가 없는 경우 (No Solution)

• 기약 행 사다리꼴에서 모순된 방정식이 발견되면 해가 없습니다.
• 예제 행렬을 보겠습니다.

\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 & c \end{array}

• • 마지막 행이 0 = c 형태로 나타나는데, c가 0이 아니면 모순 발생.
  • 즉, 해가 존재하지 않음.

---

무한히 많은 해 (Infinite Solutions)

• 기약 행 사다리꼴에서 자유변수가 존재하면 해가 무한히 많음.
• 예제 행렬을 보겠습니다.

\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & a \\ 0 & 1 & -3 & b \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}

• 마지막 행이 모두 0이므로 의미 없는 식(항등식).
• 세 번째 열에 피벗이 없으므로 자유 변수(free variable)가 존재.
• 이를z = t 같은 형태로 표현하면 무한히 많은 해를 가질 수 있음.

---

피벗 성분과 자유 변수

• 피벗 성분(Pivot Entries): 기약 행 사다리꼴에서 1이 위치한 곳.
• 자유 변수(Free Variables): 피벗이 없는 열에 해당하는 변수.
• 해석:
  • 모든 변수에 피벗이 있으면 → 유일한 해.
  • 어떤 열에 피벗이 없으면 → 무한히 많은 해.
  • 모순되는 식(예:0 = 5)이 나타나면 → 해가 없음.

---

요약

해의 유형	조건
유일한 해	모든 변수에 피벗이 있음
해 없음	0 = c 형태의 모순이 존재
무한히 많은 해	자유 변수가 존재

• 행렬을 기약 행 사다리꼴(RREF)로 변환하면 해의 개수를 쉽게 판별 가능.
• 자유 변수가 존재하면 무한한 해가 존재하고, 모순이 발생하면 해가 없습니다.

---